2024학년도 고3 수능 수학 21번 해설

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2024학년도 고3 수능 수학 21번 해설

 

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2024학년도 고3 수능 수학 21번 해설 영상 링크

 

 

2024학년도 고3 수능 21번

문제 소개 - 2024학년도 고3 수능 21번

2024학년도 고3 수능 수학 21번 문제

 

• 출제 범위 및 단원 : 수학1 로그함수
• 문제 닌이도  : 중
• 문제에서 요구하는 교과 개념 : 로그함수의 그래프, 함수의 최대, 최소

 

문제 해설 - 2024학년도 고3 수능 21번

2024학년도 고3 수능 수학 21번 해설

 

아주 적당한 난이도의 좋은 문제라고 생각합니다. 그리고 해설 영상에서도 엄청 강조하는 내용이지만, 이 문제는 이 문제가 가지고 있는 문항 표현을 경험하고 익숙해지는 것에서 아주 중요한 포인트가 있습니다. 그리고 수능 수학에서의 핵심인 미지수가 가지고 있는 기하학적 의미에 대한 해석도 필요한 문제이니 아주 좋은 문제라고 할 수 있습니다.

 

포인트 1. 문항표현 자체에 집중하세요.

이 문제의 문항 표현 중 "닫힌구간 [t-1,t+1]에서의 f(x)의 최댓값을 g(t)라 하자."라는 이 표현은 수능, 모의고사에서 정말 빈출되는 표현입니다. 물론, 최댓값이 아니라 최솟값으로 바뀔 수 있고, 구간의 표현도 t-2, t-3, t+1등 다향하게 사용될 수 있지만, 큰 뼈대로 봤을 때, 다음과 같은 문항표현이라고 할 수 있습니다.

 

t로 표현된 구간에서 함수 f(x)의 최대(또는 최소)를 g(t)라 하자.

 

이런 문항 표현은 이 문제에서 해설해드리는 방법으로 접근하는 경우가 많으니, 반드시 연습하셔서 앞으로는 쑥쑥 풀 수 있는 능력을 가질 수 있으면 좋겠습니다.

 

포인트 2. 문항 표현중 [t-1, t+1]은 어떻게 읽는지 확인하세요.

이런 표현을 어떻게 읽느냐는 이 문제를 직관적으로, 기하학적으로 해석하기 위한 가장 첫 걸음입니다. 이 기호를 그냥 있는 그대로, t-1부터 t+1까지라고 읽으면 정말 도움이 안되는 방식입니다. 이 문제는 다음과 같이 읽어주어야 합니다.

 

t를 기준으로 좌우로 1칸 범위

 

이렇게 읽을 수 있어야 직관적으로 읽을 수 있으며, 기하학적 의미로 받아들이기가 용이합니다.

 

포인트 3. f(x)가 모체이고, 그것을 바탕으로 g(t)를 생각합니다.

이 문항 표현의 핵심은 f(x)의 그래프를 기반으로 g(t)를 생각한다는 점입니다. g(t)의 f(x)의 그래프의 일부분이 평행이동되는 방식으로 만들어집니다. 따라서 f(x)와 g(t)를 따로 그리는 것이 아니라, f(x)의 그래프 위에 g(t)를 표현하는 것이 문제를 풀어가는 용이한 방법입니다.

 

이제 위에서 소개해드린 개념을 바탕으로 이 문제를 풀어가보도록 합시다. 처음 g(t)의 그래프가 어떻게 생겼는지 감을 잡아야 합니다. 그러기 위해서는 t에 적당한 값들을 넣어가면서 생각해보는 것이 도움이 됩니다. 예를들어, t=0이라고 생각하면 위에서 배운대로, x=0을 기준으로 좌우로 1칸 범위에서 f(x)의 최댓값을 찾으면 됩니다. 그림을 확인하면 손쉽게 f(1)이라는 것을 알 수 있습니다.

 

이와 같은 방법으로 t를 적당히 바꾸어가면서 g(t)가 갖는 함숫값이 f(x)가 갖는 함숫값에서 어떤식으로 영향을 받는지 확인하면 됩니다. 한 가지 더 말씀드리자면, t=2일 때부터, t=4일 때까지는 주어진 구간에서 f(x)의 최댓값은 f(3)으로 일정합니다. 따라서 g(t)는 2<t<4에서 상수함수가 되겠습니다.

 

이와 같은 방식으로 g(t)를 그리면 위 사진에서 파랑색 그래프와 같이 그려집니다. 이때 중요한 점은 t>5이면 이제 적당한 순간에 왼쪽에서의 함숫값과 오른쪽에서의 함숫값이 같아지는 순간이 만들어집니다. 이때를 기준으로 최댓값의 위치가 바뀌게 되니, 이러한 순간은 분명히 문제에서 요구하는 순간일 것입니다.

 

그래서 이제 다음 문항표현은 g(t)의 최솟값이 5가 되도록을 풀어야 합니다. 그런데 그려놓은 g(t)의 그래프를 보면 g(0)=5이므로 여기가 최솟값임을 알 수 있습니다. 이것보다 작은 함숫값을 가진다면 이제 최솟값이 5가 아니게 되므로 문제 조건을 만족하지 못합니다. 그럼 이제 위에서 확인한 그림에서 오른쪽부분의 최솟값이 5 보다는 크거나 같아야한다는 점을 알 수 있습니다.

 

포인트 4. a가 가지고 있는 기하학적 의미

이 문제의 마지막 포인트입니다. 결국 위에서 내린 결론에 의하면 어디인지는 모르지만 분명 오른쪽에서 극솟값이 생기고, 그 극솟값은 5보다 크거나 같아야 함을 확인했습니다. 이제 그러도록 하는 a를 생각할 차례입니다. 이때 문제에서는 양수 a의 최솟값을 물어봤습니다. 그럼 a가 커지면 그래프는 어떻게 되며, 작아지면 어떻게 되는 것일까요??

 

a가 갖고 있는 기하학적 의미는 로그함수의 모양입니다. a가 커질수록 로그함수는 위로 가파르게 상승하며, a가 작을수록 위로 완만하게 상승합니다. 그런데 이때 a가 커지면 결국 극솟값의 위치가 올라가는 것을 알 수 있습니다. 우리는 a가 최대한 작으면 얼마까지 작을 수 있는지 확인하는 것이기 때문에 a를 이제 작아지도록 만들어봅시다.

 

a가 작아지면 극솟값의 위치가 점점 내려옵니다. 그런데 이때 극솟값은 5보다 아래로 내려갈 수는 없으므로, 결국 극솟값이 5가 되는 순간의 a가 최소임을 알 수 있습니다.

 

이제 a를 찾기 위해 구체적인 계산을 할 차례입니다. 이때 우리는 f(x)의 이차함수 부분과 y=5의 교점의 x좌표를 기준으로 오른쪽으로 1칸을 가면, 그 때의 t값을 알 수 있고, 오른쪽으로 1칸을 더 가면 로그함수가 지나는 점을 알 수 있습니다. 따라서 방정식을 풀어서 좌표를 구하면 (5,5)임을 알 수 있고, 이것으로 로그함수가 지나는 점은 (7,5)인 것을 알 수 있습니다. 이것을 로그함수에 대입하면 a를 구하면 그게 a가 될 수 있는 최솟값입니다.

 

 

 

 

 

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LYC-MATH_HWW는 현장에서 16년간 중고등학생들과 소통하며 강의를 해온 수학 강사입니다. 이제는 단순히 수학이라는 지식을 전달하는 것을 넘어서 수학을 어떻게 공부해야하는지, 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지를 강의하고 있습니다. 또한 다년간의 빅데이터를 바탕으로 학생들이 A의 상황에서 어떤 생각을 가지고 있는지 그 뿌리부터 이해하여 근본적인 솔루션을 제공하고 있습니다. 아래는 LYC-MATH가 제공하는 서비스 목록입니다.

 

 

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