2024학년도 고3 수능 수학 20번 해설

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2024학년도 고3 수능 수학 20번 해설

 

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2024학년도 고3 수능 수학 20번 해설 영상 링크

 

 

2024학년도 고3 수능 20번

문제 소개 - 2024학년도 고3 수능 20번

 

• 출제 범위 및 단원 : 수학2 미분의 활용
• 문제 닌이도  : 중
• 문제에서 요구하는 교과 개념 : 미분을 이용한 그래프 그리기, 접선, 도형의 닮음

 

문제 해설 - 2024학년도 고3 수능 20번

2024학년도 고3 수능 수학 20번 해설1

2024학년도 고3 수능 수학 20번 해설2

 

일단 문제를 읽어가다 보면 식으로만 풀 수 있는 문제는 아니라는 생각이 확 듭니다. 따라서 f(x)의 그래프를 그리겠다는 생각을 하게 되는데, 이 타이밍에 첫 번째 포인트가 들어갑니다.

 

포인트 1. 그래프는 꼭 미분을 이용해야만 하는 것은 아니야.

함수의 그래프를 그리라면 꼭 미분을 하는 학생들이 있습니다. 물론 미분을 하면 그릴 수 있지만, 꼭 미분을 해야만 그릴 수 있는 것은 아닙니다. 수험생 여러분은 함수의 x절편만으로도 함수의 개형을 대충 그릴 수 있어야 하며, 이런 연습을 평소에 충분히 해두어야 합니다.

 

그래서 지금 주어진 f(x)=-x(x^2-ax-2)로 인수분해하고, 일단 원점과의 교점이 있는 것을 확인하면, 그 뒤에 이차식 부분의 근의 개수가 궁금해집니다. 그래서 판별식을 써보면 양수임을 알 수 있고, 또한 이제 원점을 기준으로 근이 어디 위치하는 것인지 궁금하기 때문에 이차방정식의 근의 부호 개념으로 파악합니다.

 

두 근의 합이 양수고, 두 근의 곱이 음수이므로 양근 한 개와 음근 한 개를 갖는데, 양근의 절댓값이 음근의 절댓값보다 크므로 함수의 그래프는 위에 그림과 같이 그려집니다.

 

포인트 2. 원을 보지 못하면 문제를 풀 수가 없다.

이 문제의 두 번째 관문은 여기서 원에 대한 언급이 나왔고, 그것으로 직각을 캐치할 수 있어야 하는 점입니다. 문제에서 '점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점일 때'라는 멘트를 주었으므로, 그림을 그렸을 때, 직선 OA와 직선 AB가 서로 수직임을 판단할 수 있습니다.

 

원에 내접하는 삼각형 중 지름을 끼고 있는 삼각형은 직각삼각형이다.

 

 

이 순간에 식을 하나 만들 수 있다는 생각이 들어야 합니다. OA의 기울기와 AB의 기울기의 곱이 -1이다 라고 식을 하나 만든다면, 지금 문제에서는 미지수가 a 1개이기 때문에 문제를 해결할 수 있다고 판단할 수 있습니다. 지금 이 문장도 너무나 중요한 수험생 기본기 문장이니 꼭 명심하시길 바랍니다. 미지수의 개수에 따라서 만들어야할 식이 몇 개인지 가늠하는 것은 수학 문제 풀이의 시작입니다.

 

포인트 3. 삼차함수의 비율관계를 이용하자.

그래서 점 A의 좌표가 궁금해집니다. 정확히는 점 A의 x좌표가 필요해집니다. 이때 딱 삼차함수의 비율관계를 이용할 수 있어야 합니다. 삼차함수의 비율관계는 공식적인 교육과정에서 배우는 내용은 아니지만, 수험생이라면 꼭 알고 있어야 합니다. 위에 풀이 사진에도 있고, 풀이 영상에서도 간략히 소개하고 있으니 꼭 참고해보시길 바랍니다. 삼차함수의 비율관계를 이용하면 점 A의 좌표를 손쉽게 구할 수 있습니다.

 

물론 삼차함수의 비율관계를 모른다고하여 점 A의 좌표를 구하는 과정이 어려운 것은 아닙니다. 그렇지만 시간을 조금이라고 세이브할 수 있는데, 굳이 안 할 이유는 없습니다.

 

위의 과정으로 점 A의 좌표를 구하면 x좌표가 a가 되는 것을 알 수 있습니다. 이제 원래의 계획대로 OA의 기울기인 f '(0)와 AB의 기울기인 f '(a)가 곱하면 -1이라고 식을 세움으로서 a를 구할 수 있습니다.

 

포인트 4. 소공식과 기울기

그 다음에 마지막 답을 내는 과정도 중요합니다. 제가 소개해드리는 방식으로 하지 않아도 답을 내는 방식은 많겠지만, 여기서 소개해드리는 방법은 생각보다 수능에서 요긴하게 쓰이며, 아는 만큼 보이는 개념이라고 할 수 있습니다.

 

결국 문제에서 구하라는 OA x AB는 삼각형 OAB를 보고 구하게 될 것입니다. 이때 삼각형 OAB가 일명 '소'의 상태임을 캐치할 수 있다면, OA와 AB의 길이를 구하지 않고도 답을 낼 수 있다는 사실을 알 수 있습니다. 

 

소공식은 닮음에서부터 만들어진다.

 

소공식은 닮음에서 만들어집니다. 여기서 소공식 4개를 적지는 않겠지만, 그 4개의 공식은 닮음으로 만들어지는 것을 알고 있어야 하며, 최종적으로는 소에서 보이는 직각삼각형 3개는 모두 닮음이라는 것을 알아야 합니다.

 

개다가 마지막 하나의 포인트는 기울기입니다. 위에서 소개해드린 소공식에 대한 개념들이 있으면, 이제 문제에서 구한 f '(0)=2라는 사실을 이용할 차례입니다. 기울기는 가로와 세로의 비율입니다. 기울기가 2라는 것은 가로가 1이면 세로가 2만큼의 비율을 갖는 다는 말입니다. 이러한 사실을 가지고 만들어놓은 소 도형을 보면, 위에 사진에서 보이는 a, 2a, 4a를 빠르게 찾을 수 있으며, 문제에서 요구한 길이를 깔끔하게 표현할 수 있습니다.

 

 

 

 

LYC-MATH-HWW 소개

LYC-MATH_HWW는 현장에서 16년간 중고등학생들과 소통하며 강의를 해온 수학 강사입니다. 이제는 단순히 수학이라는 지식을 전달하는 것을 넘어서 수학을 어떻게 공부해야하는지, 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지를 강의하고 있습니다. 또한 다년간의 빅데이터를 바탕으로 학생들이 A의 상황에서 어떤 생각을 가지고 있는지 그 뿌리부터 이해하여 근본적인 솔루션을 제공하고 있습니다. 아래는 LYC-MATH가 제공하는 서비스 목록입니다.

 

 

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3. 온라인 개인 과외

 

중고등 학생을 대상으로 필요한 과정에 대한 개인 과외도 진행하고 있습니다.

 

 

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