대칭형의 연립이차방정식 - 공통수학1

공통수학1에 있는 대칭형 연립이차방정식은 그 자체가 구조적인 힌트다. 치환과 근의 공식만 정확히 잡아두면 계산보다 해석이 쉬워지는 문제들이다. 이 유형은 반드시 구조를 이해하고 접근하자.

 

 

≣ Contents

 

대칭형의 연립이차방정식에 대한 개념과 핵심

예를 들어 이런 식이 있습니다.
(1) x + y = -2
(2) xy = -8

이 두 식은 x와 y를 바꿔도 형태가 그대로죠? 이처럼 x와 y를 바꿔도 식이 달라지지 않으면, 이걸 대칭형 연립방정식이라고 합니다. 이 대칭형 문제는 다음과 같은 3단계로 풀 수 있습니다:

 

Step 1. 치환

x + y 를 u, xy 를 v로 치환합니다.
즉,

• u = x + y
• v = xy

이렇게 바꾸면, x와 y는 u와 v의 관계를 만족하는 두 근이 됩니다.

 

Step 2. 이차방정식 만들기

이제 x와 y를 근으로 갖는 이차방정식을 만듭니다.
공식은 다음과 같습니다.

• t² - ut + v = 0

여기서 t는 x 또는 y입니다.

 

 Step 3. 해 구하고 정답 판별

위의 이차방정식을 풀면 x와 y의 값이 나옵니다. 그 해들을 가지고, 원래 문제에서 묻는 x + 2y, 또는 x² + y² 같은 값을 계산하면 됩니다.

 

이 방식은 문제를 복잡하게 풀지 않고, 치환을 통해 식의 구조 자체를 단순화하는 아주 강력한 기법입니다. 특히 수능이나 내신에서 연립방정식이 낯선 형태로 나왔을 때, 딱 이 패턴을 떠올리는 것만으로도 큰 도움이 될 거예요.

 

 

대칭형의 연립이차방정식 예제

예제 1

다음 연립방정식을 만족하는 x, y의 값을 구하세요.
(1) x + y = 3
(2) xy = -54

 

Step 1: 치환

• u = x + y = 3
• v = xy = -54

 

Step 2: 이차방정식 만들기
t² - 3t - 54 = 0 → t = 9 또는 -6

 

 

Step 3: 해 구하기

• (x, y) = (9, -6), (-6, 9)

예제 2

다음 연립방정식의 해를 모두 구하세요.
(1) xy = 15
(2) x² + y² = 34

 

Step 1: 치환

• u = x + y
• v = xy = 15

x² + y² = u² - 2v 이므로
34 = u² - 30 → u² = 64 → u = 8 또는 -8

 

Step 2: 이차방정식 만들기

• u = 8, v = 15 → t² - 8t + 15 = 0 → t = 3 또는 5
• u = -8, v = 15 → t² + 8t + 15 = 0 → t = -3 또는 -5

 

Step 3: 해 구하기

• (x, y) = (3, 5), (5, 3), (-3, -5), (-5, -3)

 

대칭형의 연립이차방정식 포인트 정리와 확인 예제

• 대칭형인지 먼저 판단한다: x와 y를 바꿔도 식이 그대로면 대칭형
• 치환은 항상 x + y = u, xy = v
• 이차방정식 t² - ut + v = 0을 만들고, 근을 구해 해를 복원
• 구하고자 하는 값이 있다면 각 해에 대입하여 비교

 

확인 예제. 답은 4번입니다~

 

 

 

대칭형의 연립이차방정식 LYC MATH 개념 강의

 

대칭형의 연립이차방정식 개념 강의 보러가기