[공통수학1] 부정방정식 푸는법 총정리 – 정수 조건과 실수 조건 해설까지

공통수학1의 대표 단원인 부정방정식. 실수 조건, 정수 조건 문제의 접근법과 대표 유형까지 정리합니다. 판별식 활용법도 함께 익혀보세요.

 

 

≣ Contents

 

부정방정식에 대한 개념과 핵심

부정방정식이란, 식에 포함된 미지수보다 방정식의 개수가 적은 경우를 말합니다. 즉, 해가 무수히 많거나 조건에 따라 유한하게 정해지는 특징이 있죠. 대표적인 유형은 두 가지입니다.

1. 정수(자연수) 조건
   • 보통 (일차식) × (일차식) = 정수 k 형태로 만들고, 가능한 정수 조합을 찾는 방식입니다.
2. 실수 조건
   • 식 전체를 A² + B² + ... = 0 형태로 정리할 수 있을 때, 각 항이 모두 0이어야 함을 이용합니다.
   • 판별식을 활용해 해의 존재 조건(D ≥ 0)을 확인하는 방식도 자주 쓰입니다.

이때 중요한 건, 문제의 조건을 먼저 파악하고, 어떤 유형인지 분류한 후에 접근해야 한다는 점입니다.

 

 

부정방정식 예제

예제 1 실수조건 활용 문제

다음 방정식의 실수 해 (x, y)를 구하세요.
x² + 5y² + 4xy - 4y + 4 = 0

 

[풀이]

Step 1. 내림차순 정리 및 완전제곱식 형태로 유도

x² + 4yx + (5y² - 4y + 4) = 0
→ x에 대한 이차방정식으로 보고, 판별식 D ≥ 0 조건을 적용

 

Step 2. 판별식 계산

D = (2y)² - 4(1)(5y² - 4y + 4)
= 4y² - 20y² + 16y - 16 = -16y² + 16y - 16
= -16[(y - 0.5)² + 0.75] → 항상 음수

따라서 실수해가 존재하려면 D = 0이 되어야 하며, 이때 y = 2

 

Step 3. y = 2를 대입해 x 구하기

x² + 4x + 4 = 0 → (x + 2)² = 0 → x = -2

 

최종 해: x = -2, y = 2

 

 

예제 2 정수, 자연수 조건 활용 문제

다음 방정식 xy + 2x - y - 2 = 2를 만족하는 정수 x, y의 값을 모두 구하시오.

 

[풀이]

Step 1. 좌변을 인수분해 형태로 만들기

우선, 주어진 식은
xy + 2x - y - 2 = 2

이를 정리하면,

(xy + 2x) - (y + 2) = 2
→ x(y + 2) - (y + 2) = 2
→ (x - 1)(y + 2) = 2

 

핵심 포인트
: (x - 1)(y + 2) = 2 와 같이 **두 개의 일차식 곱이 정수 k(여기선 2)**가 되는 형태로 바꾸는 것이 부정방정식에서 자주 쓰이는 구조야.

 

Step 2. 정수 2의 약수쌍으로 x - 1, y + 2를 분해

이제 (x - 1)(y + 2) = 2의 정수 해를 찾기 위해,
2를 만들 수 있는 정수 곱쌍을 모두 찾자.

정수 곱쌍 (x - 1, y + 2):

1. (1, 2) → x = 2, y = 0
2. (2, 1) → x = 3, y = -1
3. (-1, -2) → x = 0, y = -4
4. (-2, -1) → x = -1, y = -3

Step 3. 최종 정리

따라서 이 방정식을 만족하는 정수 해 (x, y)는 다음과 같다:

• (2, 0)
• (3, -1)
• (0, -4)
• (-1, -3)

이와 같이 정수 조건 부정방정식은 인수분해를 활용한 곱셈 형태로 바꾸고, 가능한 정수 조합을 나열해 찾는 구조임을 기억하자.

 

 

대칭형의 연립이차방정식 포인트 정리와 확인 예제

• 부정방정식은 해가 무수히 많을 수 있기 때문에 조건에 따라 해석 방법이 달라짐
• 정수 조건이면 인수분해 후 가능한 정수쌍을 찾는 방식이 기본
• 실수 조건이면 완전제곱식 또는 판별식(D ≥ 0) 조건을 활용
• 문제를 보면 먼저 정수 조건인지 실수 조건인지 구분부터 할 것

 

 

확인 예제. 답은 (2, -2), (-2, 2) (4, 8), (8, 4)입니다~

 

 

 

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