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2025학년도 고3 수능 미적분 30번
문제 소개 - 2025학년도 고3 수능 미적분 30번
- 출제 범위 및 단원 : 미적분 미분법
- 문제 닌이도 : 상
- 문제에서 요구하는 교과 개념 : 여러 가지 미분법 및 미분의 활용
문제 해설 - 2025학년도 고3 수능 미적분 30번
포인트 1. 코멘트
28번과 더불어서 꽤나 어려웠던 문제라고 생각합니다. 확통과의 난이도 조절 실패가 여실이 드러나는 문제라고 볼 수 있습니다. 주어진 조건을 해석하는 것이 1단계 관문이었고, 조건 밑으로 문제에서 요구하는 것을 구하는 것이 2단계 관문이라고 생각합니다. 그치만 중요한 것은 1단계, 2단계 관문 모두 결국 하나의 필수 개념을 알아야 해결이 가능한 점이라는 것입니다.
포인트 2. sin@=@이 성립하는 @을 찾는 것의 의미
주어진 함수 f(x)가 꽤나 복잡하게 주어졌기 때문에 어떤 생각보다는 일단 밑으로 내려가서 하자는 계산을 해봐야 합니다. 그래서 바로 (가)에서 요구하는 계산을 해보면 b=npi에다가 sin(2api+npi)=2api+npi라는 결과는 얻게 됩니다. 바로 이 부분입니다. 여기서 해결하는 포인트가 이 문제 전반적으로 관통하는 필수 개념입니다. 이때 여러분은 sin@=@ 구조가 눈에 보여야 합니다.
우리는 방정식 f(x)=g(x)의 실근은 y=f(x)와 y=g(x)의 두 그래프의 교점의 x좌표와 같다는 것을 알고 있습니다. 또한 f(a)=0이면 우리는 a를 방정식 f(x)=0의 근이라고 부를 수 있습니다. 이 두 개념이 만나게 되면 f(a)=g(a)라는 결과는 방정식 f(x)=g(x)의 근이 a다 라고 읽을 수 있고, 이것을 y=f(x)와 y=g(x) 두 그래프의 교점의 x좌표가 a다 라고 읽을 수 있습니다.
그런데 여기서 대부분 눈에 안보이는 이유는 대놓고 f나 g로 나와있지 않기 때문입니다. f(a)=g(a)꼴로 나왔다면 읽을 수 있는 내용을 g(x)가 아니라 구체적인 식으로 묻어버리면 안보이는 것이죠. 이 개념이 있느냐가 이 문제를 풀고 못풀고를 가르는 것입니다.
다시 말해서, 방정식 f(x)=x+1의 실근이라는 것을 y=f(x)와 y=x+1의 교점의 x좌표로 읽을 수 있다면 f(a)=a+1을 만족하는 a라는 것을 방정식 f(x)=x+1의 실근이 x=a라는 것으로 읽을 수 있고, 더 나아가서 y=f(x)와 y=x+1의 교점의 x좌표가 x=a라는 것으로 읽을 수 있습니다.
이러한 개념을 장착하고 있다면 sin@=@을 만족하는 @는 방정식 sinx=x를 만족하는 근이고, 나아가서 y=sinx와 y=x의 교점의 x좌표라고 읽을 수 있는 것입니다.
포인트 3. y=sinx와 y=x의 교점은 x=0 하나
위에서 결국 sin(2api+npi)=2api+npi라는 결과를 얻었었는데, 이제는 2npi+npi가 y=sinx와 y=x의 교점의 x좌표라는 것을 알게 되었습니다. 이때 y=sinx와 y=x의 교점의 x좌표를 구할 수 없다면 이제 또 막히게 되는 것입니다. 이것은 식을 풀어서 알 수 있는 것이 아닙니다. 그래프를 그려보면 두 그래프는 x=0에서 교점을 갖는 것을 알 수 있고, 그 외에는 교점이 없다는 것 또한 알 수 있습니다. y=sinx가 x=0에서 접선의 기울기가 1이기 때문에 두 그래프는 x=0에서 접하므로 x=0 이외의 교점은 생기지 않습니다. 따라서 2npi+npi=0이 성립합니다.
그럼 이제 n은 정수라는 것과 a는 문제에서 주어진 구간이 있다는 것을 이용하여 a와 n을 구하고 이어서 b까지 구할 수 있습니다. 위에 풀이와 같이 구해보면 가능한 a, n, b세트가 3가지가 나옵니다. 이제 각각의 경우를 가지고 (나)조건으로 넘어가야할 차례입니다.
(나)조건은 위에서 열심히 찾은 세 가지 경우를 가지고 (나)조건이 성립하는지 따져보면 됩니다. 세 가지 경우는 위에 풀이에서 보이는 것 처럼 a=1, b=-2pi인 경우, a=3/2, b=-3pi인 경우, a=2, b=-4pi인 경우가 있으며, 세 가지 경우 모두 f '(0)=f '(4pi)는 만족합니다. 다만 첫 번째와 세 번째 경우는 (나) 조건을 만족하는 t의 최소가 4pi가 아니라는 점에서 문제가 됩니다. 사실 여기도 좀 문제가 되는 부분이기는 합니다. 조건을 만족하는 t의 최소가 4pi가 아니라는 것을 식으로 풀어서 찾는 것은 아니기 때문입니다. 그냥 감으로 찾아야 한다는 것이 문제입니다.
이제 a=3/2, b=-3pi인 경우를 가지고 문제 하단부로 내려가 봅니다. f(x)의 극대에 대해서 이야기하고 있으므로 이제 f '(x)의 부호변화를 관찰해야 합니다. 이 과정에서 정말 중요한 개념이 사용됩니다.
미적분에서 만드는 도함수는 항상 부호가 변하지 않는 부분이 있는지 체크한다.
수2 수준의 f '(x)는 일단 그리기 자체가 어렵지 않고, 함수의 식 자체도 부담스럽지 않습니다. 그래서 별 생각없이 바라볼 수도 있지만, 미적분에서는 f '(x)를 나름의 개념을 가지고 바라봐야 합니다. 바로 부호가 변하지 않는 부분을 찾겠다는 생각입니다. 지금 문제의 f '(x)는 3/2+cosx가 부호가 변하지 않는 부분이기 때문에 신경쓸 필요가 없고, 뒤에 cos부분만 신경쓰면 됩니다. 이때 여기서 또 하나 이 문제의 포인트가 들어갑니다.
포인트 4. y=ax+sinx의 개형을 알고 있어야 한다.
수능 30번 문제를 욕심낼만한 학생이라면 위에 포인트4에서 얘기하는 개념은 알고 있어야 합니다. 원점을 지나는 직선과 sin 또는 cos의 합으로 표현된 함수의 그래프의 개형은 어떻게 생겼고, 또한 증가와 감소에 대해서 어떤 특징이 있는지 알고 있어야 합니다.
이 그래프는 증가만 하는 그래프이고 따라서 지금 문제의 f '(x)의 부호 변화를 관찰하기 위해서 복잡한 함수를 볼 필요가 없어졌습니다. 단순히 cos그래프를 보면 되고, 정확히는 각에 들어 있는 함수가 치역이 0부터 6pi까지이므로 cos그래프를 0부터 6pi까지의 그래프를 보면 됩니다.
이때 우리는 부호 변화가 -에서 +로 변하는 순간을 찾고 있으므로 각이 3pi/2, 7pi/2, 11pi/2인 상태를 찾으면 되는 것이지요. 즉 문제에서 요구하는 n=3이라는 것을 찾았습니다. 이제 문제에서 요구한 alpha1은 각이 3pi/2가 될 때의 x이므로 이제 이것을 찾기 위해 위에서 사용했던 논리를 한 번 더 사용해야 합니다.
위에 풀이에서 처럼 적당히 변형하여 두 그래프의 교점으로 읽어줄 수 있다면 우리가 구하는 alpha1은 y=sinx와 y=3/2(-x+pi)의 교점의 x좌표라는 것을 알 수 있고, 따라서 alpha1=pi라는 것을 구하게 됩니다.
LYC-MATH-HWW 소개
LYC-MATH_HWW는 현장에서 16년간 중고등학생들과 소통하며 강의를 해온 수학 강사입니다. 이제는 단순히 수학이라는 지식을 전달하는 것을 넘어서 수학을 어떻게 공부해야하는지, 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지를 강의하고 있습니다. 또한 다년간의 빅데이터를 바탕으로 학생들이 A의 상황에서 어떤 생각을 가지고 있는지 그 뿌리부터 이해하여 근본적인 솔루션을 제공하고 있습니다. 아래는 LYC-MATH가 제공하는 서비스 목록입니다.
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